在概率论与数理统计的众多分布中，负二项分布是一个具有广泛应用价值的离散型概率分布。它主要用于描述在一系列独立的伯努利试验中，直到成功次数达到某个固定值时所需的试验次数的概率模型。与常见的几何分布不同，负二项分布不仅关注首次成功出现的次数，而是关注第 r 次成功发生在第 k 次试验的概率。

一、负二项分布的基本概念

设每次试验成功的概率为 p（0 < p < 1），失败的概率为 q = 1 - p。考虑一个随机实验序列，其中每一次试验都是独立的，并且只有两种可能的结果：成功或失败。我们定义随机变量 X 表示在第 r 次成功之前所进行的试验次数。如果 X 的取值为 k，则意味着在第 k 次试验时，恰好是第 r 次成功。

在这种情况下，X 服从参数为 r 和 p 的负二项分布，记作 X ~ NegBin(r, p)。

二、负二项分布的概率质量函数

负二项分布的概率质量函数（PMF）可以表示为：

$$

P(X = k) = \binom{k - 1}{r - 1} p^r (1 - p)^{k - r}, \quad k = r, r + 1, r + 2, \ldots

$$

其中，$\binom{k - 1}{r - 1}$ 是组合数，表示从 k - 1 次试验中选择 r - 1 次成功的组合方式。该公式刻画了在第 k 次试验时，刚好获得第 r 次成功的概率。

三、负二项分布的期望与方差

对于服从负二项分布的随机变量 X，其数学期望和方差分别为：

- 期望：$ E(X) = \frac{r}{p} $

- 方差：$ Var(X) = \frac{r(1 - p)}{p^2} $

这些结果表明，随着成功概率 p 的增加，期望值会减小，而方差则随着 p 的减小而增大。

四、负二项分布的应用场景

负二项分布广泛应用于实际问题中，尤其在那些需要预测某事件发生一定次数所需时间或资源的场景中。例如：

- 在保险行业中，用于估计某类事故发生的次数；

- 在生物学中，研究某种基因突变的出现频率；

- 在市场调研中，分析顾客购买行为的模式；

- 在网络流量分析中，预测数据包到达的间隔时间等。

此外，负二项分布在回归分析中也有重要应用，特别是在处理过度离散的数据时，常被用来替代泊松回归模型。

五、负二项分布与几何分布的关系

几何分布可以看作是负二项分布的一个特例，当 r = 1 时，负二项分布退化为几何分布。也就是说，几何分布描述的是第一次成功出现在第 k 次试验的概率，而负二项分布则是对这一过程的扩展，适用于多次成功的场景。

六、总结

负二项分布作为概率论中的一个重要工具，提供了对多阶段成功试验的建模方法。通过理解其数学表达式、统计特性以及实际应用场景，可以帮助我们在面对复杂随机现象时做出更准确的预测和决策。无论是理论研究还是工程实践，掌握负二项分布的相关知识都具有重要意义。