【等比数列公式及推导】在数学中，等比数列是一种重要的数列形式，广泛应用于数学、物理、经济等多个领域。理解等比数列的性质及其相关公式，有助于我们更好地分析和解决实际问题。本文将围绕等比数列的基本概念、通项公式以及前n项和的推导过程进行详细讲解。
一、什么是等比数列？
等比数列（Geometric Sequence）是指从第二项开始，每一项与它前面一项的比值是一个常数的数列。这个常数称为公比，通常用字母 $ q $ 表示。
例如：
数列 $ 2, 6, 18, 54, 162, \ldots $ 是一个等比数列，其中首项为 $ a_1 = 2 $，公比 $ q = 3 $。
二、等比数列的通项公式
设等比数列的首项为 $ a_1 $，公比为 $ q $，则第 $ n $ 项 $ a_n $ 可以表示为：
$$
a_n = a_1 \cdot q^{n-1}
$$
推导过程如下：
- 第1项：$ a_1 $
- 第2项：$ a_2 = a_1 \cdot q $
- 第3项：$ a_3 = a_2 \cdot q = a_1 \cdot q^2 $
- 第4项：$ a_4 = a_3 \cdot q = a_1 \cdot q^3 $
依此类推，可以得出第 $ n $ 项为：
$$
a_n = a_1 \cdot q^{n-1}
$$
这就是等比数列的通项公式。
三、等比数列的前n项和公式
等比数列的前 $ n $ 项和记作 $ S_n $，其计算公式为：
$$
S_n = a_1 \cdot \frac{1 - q^n}{1 - q} \quad (q \neq 1)
$$
如果 $ q = 1 $，则所有项都相等，此时：
$$
S_n = a_1 \cdot n
$$
推导过程如下：
设等比数列的前 $ n $ 项和为：
$$
S_n = a_1 + a_1 q + a_1 q^2 + \cdots + a_1 q^{n-1}
$$
两边同时乘以公比 $ q $ 得到：
$$
q S_n = a_1 q + a_1 q^2 + a_1 q^3 + \cdots + a_1 q^n
$$
将原式与上式相减：
$$
S_n - q S_n = a_1 - a_1 q^n
$$
即：
$$
S_n (1 - q) = a_1 (1 - q^n)
$$
因此：
$$
S_n = a_1 \cdot \frac{1 - q^n}{1 - q} \quad (q \neq 1)
$$
四、特殊情况处理
- 当 $ q = 1 $ 时，所有项都是 $ a_1 $，所以前 $ n $ 项和为 $ S_n = a_1 \cdot n $。
- 当 $ |q| < 1 $ 时，若 $ n \to \infty $，则 $ q^n \to 0 $，此时无穷等比数列的和为：
$$
S = \frac{a_1}{1 - q}
$$
五、应用举例
假设某公司每年的利润按10%增长，第一年的利润为10万元，那么第5年的利润是多少？前5年的总利润又是多少？
- 首项 $ a_1 = 10 $ 万元，公比 $ q = 1.1 $
- 第5年利润：$ a_5 = 10 \times 1.1^4 = 14.641 $ 万元
- 前5年总利润：$ S_5 = 10 \times \frac{1 - 1.1^5}{1 - 1.1} = 61.051 $ 万元
六、总结
等比数列是数学中一种重要的数列类型，掌握其通项公式和前n项和的推导方法，有助于我们在实际问题中灵活运用。通过理解其背后的逻辑，我们不仅能快速求解相关问题，还能更深入地认识数列的结构与规律。
希望本文能帮助你更好地掌握等比数列的相关知识！
