【26.1.5用待定系数法求二次函数的解析式(导学案)】一、学习目标：
1. 理解待定系数法的基本思想和应用方法。
2. 掌握根据已知条件设出二次函数的一般形式，并通过代入已知点求出未知系数。
3. 能够灵活运用不同形式的二次函数表达式（一般式、顶点式、交点式）进行解析式的求解。
二、重点与难点：
- 重点：掌握待定系数法的步骤，能根据不同的已知条件选择合适的二次函数形式。
- 难点：在实际问题中准确识别已知条件，合理设定变量并建立方程组。
三、知识回顾：
1. 二次函数的一般形式是：
$ y = ax^2 + bx + c $（其中 $ a \neq 0 $）
2. 顶点式为：
$ y = a(x - h)^2 + k $，其中 $ (h, k) $ 是抛物线的顶点。
3. 交点式为：
$ y = a(x - x_1)(x - x_2) $，其中 $ x_1 $ 和 $ x_2 $ 是抛物线与 x 轴的交点。
四、新课导入：
在实际生活中，我们常常需要根据一些已知的点来确定一个二次函数的表达式，例如：某物体从高处下落的轨迹、抛物线运动的路径等。这时候，我们就可以使用“待定系数法”来求解二次函数的解析式。
五、学习
1. 待定系数法的概念：
待定系数法是一种数学方法，用于在已知某些条件的情况下，通过设定未知系数并列出方程组来求解这些系数。这种方法广泛应用于函数解析式的求解中。
2. 用待定系数法求二次函数解析式的步骤：
（1）根据题目提供的信息，假设二次函数的一般形式（如一般式、顶点式或交点式）。
（2）将已知点代入所设的函数表达式，得到关于未知系数的方程。
（3）解这个方程组，求出各个未知系数的值。
（4）将求得的系数代入原式，得到最终的二次函数解析式。
3. 典型例题分析：
例题1：
已知一个二次函数经过点 $ (1, 2) $、$ (2, 3) $ 和 $ (3, 6) $，求该二次函数的解析式。
解题过程：
设二次函数为一般式：
$ y = ax^2 + bx + c $
将三个点代入方程：
当 $ x = 1 $，$ y = 2 $：
$ a(1)^2 + b(1) + c = 2 $ → $ a + b + c = 2 $ ——（1）
当 $ x = 2 $，$ y = 3 $：
$ a(2)^2 + b(2) + c = 3 $ → $ 4a + 2b + c = 3 $ ——（2）
当 $ x = 3 $，$ y = 6 $：
$ a(3)^2 + b(3) + c = 6 $ → $ 9a + 3b + c = 6 $ ——（3）
接下来解这个三元一次方程组：
由（1）得：$ c = 2 - a - b $
代入（2）：
$ 4a + 2b + (2 - a - b) = 3 $
→ $ 3a + b + 2 = 3 $
→ $ 3a + b = 1 $ ——（4）
代入（3）：
$ 9a + 3b + (2 - a - b) = 6 $
→ $ 8a + 2b + 2 = 6 $
→ $ 8a + 2b = 4 $
→ $ 4a + b = 2 $ ——（5）
由（4）和（5）联立：
$ 3a + b = 1 $
$ 4a + b = 2 $
相减得：$ a = 1 $
代入（4）得：$ 3(1) + b = 1 $ → $ b = -2 $
再代入（1）得：$ 1 - 2 + c = 2 $ → $ c = 3 $
所以，该二次函数的解析式为：
$ y = x^2 - 2x + 3 $
例题2：
已知一个二次函数的顶点为 $ (2, 5) $，且过点 $ (3, 7) $，求其解析式。
解题过程：
因为已知顶点，所以使用顶点式：
$ y = a(x - 2)^2 + 5 $
将点 $ (3, 7) $ 代入：
$ 7 = a(3 - 2)^2 + 5 $
→ $ 7 = a(1)^2 + 5 $
→ $ a = 2 $
因此，解析式为：
$ y = 2(x - 2)^2 + 5 $
六、课堂练习：
1. 已知二次函数图像经过点 $ (-1, 4) $、$ (0, 3) $ 和 $ (2, 5) $，求其解析式。
2. 已知一个二次函数的顶点为 $ (1, -2) $，且过点 $ (2, 0) $，求其解析式。
3. 已知一个二次函数与 x 轴交于 $ x = -1 $ 和 $ x = 3 $，且过点 $ (0, 6) $，求其解析式。
七、小结：
本节课我们学习了如何利用待定系数法求解二次函数的解析式。通过设定不同的函数形式，结合已知点代入求解，可以有效地找到符合条件的二次函数表达式。希望同学们能够熟练掌握这一方法，并灵活应用于各类问题中。
八、拓展思考：
你能否根据抛物线的对称轴、顶点、与坐标轴的交点等信息，快速写出对应的二次函数解析式？尝试用不同的方式表示同一个函数，看看它们之间有什么联系？
备注： 本导学案旨在帮助学生理解并掌握待定系数法在二次函数中的应用，建议配合练习题进行巩固。
