在高中数学的学习过程中，指数函数是一个重要的知识点，它不仅是理解更复杂数学概念的基础，也是解决实际问题的重要工具。为了帮助学生更好地掌握这一部分知识，以下整理了一些典型的高一指数函数相关试题，并附上详细的解答过程。
一、基础题型
题目1：
已知函数 \(f(x) = 3^{x+2}\)，求其定义域与值域。
解析：
指数函数 \(a^x\) 的定义域为全体实数（即 \(x \in \mathbb{R}\)），因此 \(f(x)\) 的定义域同样为全体实数。对于值域，由于底数 \(3 > 0\) 且不等于 1，结合指数函数的基本性质可知，\(f(x)\) 的值域为 \((0, +\infty)\)。
题目2：
若 \(g(x) = 4^{x-1}\)，当 \(x=3\) 时，求 \(g(x)\) 的值。
解析：
将 \(x=3\) 代入 \(g(x)\) 中，得
\[ g(3) = 4^{3-1} = 4^2 = 16 \]
因此，\(g(3) = 16\)。
二、中等难度题型
题目3：
设 \(h(x) = 2^{x+1} - 5\)，解方程 \(h(x) = 0\)。
解析：
令 \(h(x) = 0\)，则
\[ 2^{x+1} - 5 = 0 \]
移项后得到
\[ 2^{x+1} = 5 \]
取对数（以 2 为底）两边同时进行，得
\[ x+1 = \log_2 5 \]
于是
\[ x = \log_2 5 - 1 \]
题目4：
比较大小：\(3^{0.7}\) 和 \(2^{1.5}\)。
解析：
通过观察，发现两个表达式均为指数形式，但底数不同。可以利用换底公式或直接估算来比较大小。计算得：
\[ 3^{0.7} \approx 2.08 \]
\[ 2^{1.5} = 2^{\frac{3}{2}} = \sqrt{8} \approx 2.83 \]
显然，\(3^{0.7} < 2^{1.5}\)。
三、进阶题型
题目5：
若 \(f(x) = a^x\)，且满足 \(f(-1) = 2\)，求 \(f(2)\)。
解析：
由 \(f(-1) = 2\)，可得
\[ a^{-1} = 2 \]
即
\[ \frac{1}{a} = 2 \]
从而
\[ a = \frac{1}{2} \]
因此，函数为 \(f(x) = (\frac{1}{2})^x\)。再求 \(f(2)\)：
\[ f(2) = (\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4} \]
以上题目涵盖了从基础到进阶的不同层次，希望同学们能够通过练习巩固所学知识。如果还有疑问，欢迎进一步交流探讨！
