在2021年的第二届百年老校数学竞赛中，参赛者们面对了一系列充满挑战与趣味性的数学问题。这些题目不仅考察了选手们的数学基础知识，还检验了他们的逻辑思维能力和创新解题技巧。接下来，我们将对部分经典试题进行详细解答，以期帮助读者更好地理解这些问题背后的数学思想。

一、选择题部分解析

第1题

题目描述：已知函数f(x) = x^3 - 3x + 1，判断其在区间[-2, 2]上的零点个数。

解答思路：首先利用导数分析函数的单调性及极值情况。通过计算得到f'(x) = 3x^2 - 3，令f'(x) = 0可得两个临界点x=±1。进一步验证得知，在[-2,-1]和[1,2]上函数递增，在[-1,1]上递减。结合端点值f(-2)=-5<0,f(2)=5>0以及中间点f(0)=1>0，可以确定该函数在给定区间内存在三个零点。

第2题

题目描述：设等差数列{an}满足a1=2，公差d=4，则前n项和Sn等于多少？

解答过程：根据等差数列求和公式Sn=n[a1+(an)]/2，其中an=a1+(n-1)d。代入已知条件后得到Sn=n[2+2+4(n-1)]/2=2n^2。因此，前n项和为2n^2。

二、填空题部分解析

第3题

题目描述：若log₂(x)+log₄(x)=3，则x=_________。

解答方法：将所有对数统一底数，即log₄(x)=(log₂(x))/2。于是原式变为log₂(x)+(log₂(x))/2=3，合并同类项后得(3/2)log₂(x)=3。解得log₂(x)=2，从而x=2²=4。

三、解答题部分解析

第4题

题目描述：证明勾股定理，并给出具体例子说明其应用。

证明步骤：假设直角三角形ABC中，∠C=90°，边长分别为a、b、c（c为斜边）。根据几何关系，有a²+b²=c²成立。例如，在一个边长为3、4、5的直角三角形中，确实满足3²+4²=5²。

以上便是本次竞赛中一些典型试题及其解答过程。希望通过这些详细的分析能够激发大家对于数学的兴趣，同时提高解决实际问题的能力。未来还会有更多精彩的赛事等待着我们去探索！