在概率论与数理统计中，随机变量及其分布是核心概念之一。为了更好地理解和掌握这一部分内容，我们通过一些经典的习题来梳理相关知识点，并提供详细的解答过程。

首先，我们需要明确随机变量的概念。随机变量是一个将随机试验的结果映射到实数上的函数。它可以分为离散型随机变量和连续型随机变量两大类。离散型随机变量的取值是有限个或可列无限多个，而连续型随机变量则可以取任意实数值。

接下来，让我们来看几个经典习题：

习题一：

设随机变量X服从参数为λ=2的泊松分布，求P(X≤3)。

解答：

泊松分布的概率质量函数为P(X=k)=e^(-λ) λ^k / k!，其中k=0,1,2,...。

因此，P(X≤3) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) + P(X=3)

= e^(-2)(1 + 2 + 4/2 + 8/6)

= e^(-2) (1 + 2 + 2 + 1.333)

≈ 0.997

习题二：

假设某人的每日步行步数是一个正态分布N(5000,1000^2)，求此人一天内步行超过6000步的概率。

解答：

设随机变量Y表示该人的每日步行步数，则Y~N(5000,1000^2)。

标准化后得到Z=(Y-μ)/σ，即Z=(Y-5000)/1000。

所以P(Y>6000) = P(Z>(6000-5000)/1000)

= P(Z>1)

利用标准正态分布表查得P(Z>1) ≈ 0.1587

以上两个例子展示了如何运用不同类型的随机变量分布解决实际问题。值得注意的是，在处理具体问题时，首先要判断随机变量属于哪种类型，然后根据相应的概率密度函数或概率质量函数进行计算。

此外，还有一些重要的分布需要特别注意，如均匀分布、指数分布等。这些分布各自具有独特的性质，在特定情境下非常有用。例如，均匀分布在模拟公平性方面有着广泛的应用；而指数分布在描述事件发生的时间间隔上表现出色。

总之，理解并熟练掌握随机变量及其分布对于深入学习概率论至关重要。通过不断练习典型例题，我们可以逐步提高解决问题的能力，并形成系统的知识体系。希望上述内容对你有所帮助！