【柯西分布特征函数推导】柯西分布是概率论中一种重要的连续分布，其概率密度函数为：
$$ f(x) = \frac{1}{\pi(1 + x^2)} $$
其特征函数定义为：
$$ \phi(t) = \mathbb{E}[e^{itX}] = \int_{-\infty}^{\infty} e^{itx} \cdot \frac{1}{\pi(1 + x^2)} dx $$
通过复分析方法，可求得该积分结果为：
$$ \phi(t) = e^{-
以下是关键步骤总结：
| 步骤 | 内容 | ||
| 1 | 定义柯西分布的概率密度函数 | ||
| 2 | 写出特征函数的积分表达式 | ||
| 3 | 利用复分析或对称性计算积分 | ||
| 4 | 得到特征函数结果 $ e^{- | t | } $ |
柯西分布的特征函数具有简单形式，且不依赖于参数，是其重要性质之一。
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