在高中数学的学习过程中，三角函数是重要的组成部分，尤其在必修4中，学生将系统地学习三角函数的概念、图像、性质以及相关公式。掌握这些公式不仅有助于解题，还能提升对三角函数的理解和应用能力。以下是一份整理全面、内容清晰的“高中数学必修4三角函数公式大全”，供同学们参考和复习。
一、基本概念与定义
1. 任意角的三角函数定义
设角α的终边与单位圆交于点P(x, y)，则：
- sinα = y
- cosα = x
- tanα = y/x（x ≠ 0）
- cotα = x/y（y ≠ 0）
- secα = 1/x（x ≠ 0）
- cscα = 1/y（y ≠ 0）
2. 弧度制与角度制转换
- 180° = π 弧度
- 1 弧度 ≈ 57.3°
- 角度转弧度：θ(弧度) = θ(角度) × π/180
- 弧度转角度：θ(角度) = θ(弧度) × 180/π
二、同角三角函数的基本关系式
1. 平方关系
- sin²α + cos²α = 1
- 1 + tan²α = sec²α
- 1 + cot²α = csc²α
2. 商数关系
- tanα = sinα / cosα
- cotα = cosα / sinα
3. 倒数关系
- sinα = 1 / cscα
- cosα = 1 / secα
- tanα = 1 / cotα
三、诱导公式（用于求任意角的三角函数值）
| 角α | sinα | cosα | tanα |
|------|------|------|------|
| -α | -sinα | cosα | -tanα |
| π - α | sinα | -cosα | -tanα |
| π + α | -sinα | -cosα | tanα |
| 2π - α | -sinα | cosα | -tanα |
| π/2 - α | cosα | sinα | cotα |
| π/2 + α | cosα | -sinα | -cotα |
四、两角和与差的三角函数公式
1. 正弦公式
- sin(α ± β) = sinα cosβ ± cosα sinβ
2. 余弦公式
- cos(α ± β) = cosα cosβ ∓ sinα sinβ
3. 正切公式
- tan(α ± β) = (tanα ± tanβ) / (1 ∓ tanα tanβ)
五、倍角公式
1. 正弦的倍角公式
- sin2α = 2sinα cosα
- sin3α = 3sinα - 4sin³α
2. 余弦的倍角公式
- cos2α = cos²α - sin²α = 2cos²α - 1 = 1 - 2sin²α
- cos3α = 4cos³α - 3cosα
3. 正切的倍角公式
- tan2α = 2tanα / (1 - tan²α)
六、半角公式
1. 正弦半角公式
- sin(α/2) = ±√[(1 - cosα)/2]
2. 余弦半角公式
- cos(α/2) = ±√[(1 + cosα)/2]
3. 正切半角公式
- tan(α/2) = ±√[(1 - cosα)/(1 + cosα)]
- 或者用 sinα 和 cosα 表示：tan(α/2) = sinα / (1 + cosα)
七、和差化积与积化和差公式
1. 和差化积
- sinA + sinB = 2sin[(A+B)/2]cos[(A-B)/2]
- sinA - sinB = 2cos[(A+B)/2]sin[(A-B)/2]
- cosA + cosB = 2cos[(A+B)/2]cos[(A-B)/2]
- cosA - cosB = -2sin[(A+B)/2]sin[(A-B)/2]
2. 积化和差
- sinA cosB = [sin(A+B) + sin(A-B)] / 2
- cosA cosB = [cos(A+B) + cos(A-B)] / 2
- sinA sinB = [cos(A-B) - cos(A+B)] / 2
八、三角函数的周期性
- 正弦函数和余弦函数的周期为 2π
- 正切函数和余切函数的周期为 π
九、三角函数图像与性质总结
| 函数 | 定义域 | 值域 | 周期 | 奇偶性 | 单调区间 |
|-------|--------|------|------|--------|----------|
| y = sinx | R | [-1, 1] | 2π | 奇函数 | 在 [-π/2 + 2kπ, π/2 + 2kπ] 上递增 |
| y = cosx | R | [-1, 1] | 2π | 偶函数 | 在 [2kπ, π + 2kπ] 上递减 |
| y = tanx | x ≠ π/2 + kπ | R | π | 奇函数 | 在 (-π/2 + kπ, π/2 + kπ) 上递增 |
十、常见特殊角的三角函数值表
| 角度（°） | 弧度 | sinα | cosα | tanα |
|------------|------|------|------|------|
| 0° | 0| 0| 1| 0|
| 30°| π/6| 1/2| √3/2 | 1/√3 |
| 45°| π/4| √2/2 | √2/2 | 1|
| 60°| π/3| √3/2 | 1/2| √3 |
| 90°| π/2| 1| 0| 无意义 |
通过以上公式和表格的整理，希望同学们能够更好地掌握高中数学必修4中的三角函数知识。建议在学习过程中结合练习题进行巩固，并理解公式的推导过程，以提高解题能力和逻辑思维能力。
