在数学的学习中，分式是一个重要的知识点，也是中考中的常考内容之一。分式的运算涉及加减乘除以及化简，这些基本技能不仅需要扎实的基础知识，还需要灵活的解题思路和细心的计算习惯。本文将精选几道具有代表性的中考分式计算题，并详细解析解题过程，帮助同学们更好地掌握这一部分内容。
例题1：分式加减法
题目：
计算：
$$
\frac{x}{x+1} + \frac{2}{x-1}
$$
解析：
分式加减的关键在于找到公分母。本题的两个分式的分母分别为 $x+1$ 和 $x-1$，它们没有公因式，因此公分母为 $(x+1)(x-1)$。接下来，我们将每个分式通分为同分母形式：
$$
\frac{x}{x+1} = \frac{x(x-1)}{(x+1)(x-1)}, \quad \frac{2}{x-1} = \frac{2(x+1)}{(x+1)(x-1)}
$$
将两部分相加：
$$
\frac{x}{x+1} + \frac{2}{x-1} = \frac{x(x-1) + 2(x+1)}{(x+1)(x-1)}
$$
展开分子并合并同类项：
$$
x(x-1) + 2(x+1) = x^2 - x + 2x + 2 = x^2 + x + 2
$$
因此，结果为：
$$
\frac{x}{x+1} + \frac{2}{x-1} = \frac{x^2 + x + 2}{(x+1)(x-1)}
$$
例题2：分式乘法与化简
题目：
计算：
$$
\frac{x^2 - 4}{x^2 - 3x + 2} \cdot \frac{x-1}{x+2}
$$
解析：
分式乘法的关键是先对分子和分母进行因式分解，然后约去相同的因式。首先，分解各部分：
- $x^2 - 4 = (x-2)(x+2)$
- $x^2 - 3x + 2 = (x-1)(x-2)$
代入原式后，得到：
$$
\frac{x^2 - 4}{x^2 - 3x + 2} \cdot \frac{x-1}{x+2} = \frac{(x-2)(x+2)}{(x-1)(x-2)} \cdot \frac{x-1}{x+2}
$$
观察可得，$(x-2)$ 和 $(x-1)$ 在分子与分母中可以相互抵消，同时 $(x+2)$ 也可以抵消掉，最终结果为：
$$
1
$$
例题3：分式混合运算
题目：
计算：
$$
\frac{\frac{1}{x} + \frac{1}{y}}{\frac{1}{x} - \frac{1}{y}}
$$
解析：
这是一道复杂的分式混合运算问题，需要分别处理分子和分母。先将分子和分母分别通分化简：
- 分子：$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{y+x}{xy}$
- 分母：$\frac{1}{x} - \frac{1}{y} = \frac{y-x}{xy}$
代入原式后，得到：
$$
\frac{\frac{1}{x} + \frac{1}{y}}{\frac{1}{x} - \frac{1}{y}} = \frac{\frac{y+x}{xy}}{\frac{y-x}{xy}}
$$
分子分母均为分数形式，可以直接写成乘法：
$$
\frac{y+x}{xy} \div \frac{y-x}{xy} = \frac{y+x}{xy} \cdot \frac{xy}{y-x}
$$
约去 $xy$ 后，得到：
$$
\frac{y+x}{y-x}
$$
通过以上三道例题，我们可以看到分式的计算涉及多种技巧，包括通分、因式分解、约分等。熟练掌握这些方法，不仅能提高计算速度，还能增强解题的准确性。希望同学们在学习过程中多加练习，灵活运用这些技巧，争取在中考中取得优异成绩！
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总结： 分式计算题虽然形式多样，但只要抓住关键点，即找公分母、因式分解和约分，就能轻松应对各种题型。
