引言
在计算机科学领域中，数据结构是解决实际问题的重要工具之一。本次实验旨在通过构建与实现实系数一元多项式的相关操作，加深对链表等数据结构的理解，并提升编程能力。一元多项式在数学建模、信号处理以及工程计算等领域有着广泛的应用，因此对其高效操作的研究具有重要意义。
实验目标
1. 掌握链表的基本操作方法。
2. 实现一元多项式的加法、减法、乘法及求导等基本运算。
3. 分析不同算法的时间复杂度和空间效率。
4. 通过实践提高代码编写能力和调试技巧。
实验环境
- 操作系统：Windows 10/Ubuntu 20.04
- 编程语言：C/C++
- 开发工具：Visual Studio Code / CLion
实验原理
一元多项式的表示
一元多项式可以表示为以下形式：
\[ P(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + ... + a_1x + a_0 \]
其中 \(a_i\) 是系数，\(x\) 是变量。为了便于存储和操作，通常采用链表来表示多项式，每个节点包含两项信息：项的指数和对应的系数。
链表的基本操作
- 插入节点：根据多项式的升幂顺序插入新的节点。
- 删除节点：根据指定条件移除不需要的节点。
- 遍历链表：按照一定规则访问所有节点。
实验步骤
1. 数据结构设计
定义一个结构体 `Term` 来表示多项式中的每一项，包括系数和指数两个成员变量。同时定义一个结构体 `Polynomial` 作为整个多项式的容器，内部维护一个指向首节点的指针。
```cpp
struct Term {
double coefficient;
int exponent;
Term next;
};
struct Polynomial {
Term head;
};
```
2. 功能实现
（1）创建多项式
用户输入多项式的项数及各项的系数与指数后，程序将这些信息存入链表中。
```cpp
void createPolynomial(Polynomial& poly) {
int n;
cout << "请输入多项式的项数: ";
cin >> n;
for (int i = 0; i < n; ++i) {
Term term = new Term;
cout << "请输入第" << i+1 << "项的系数和指数: ";
cin >> term->coefficient >> term->exponent;
term->next = nullptr;
// 插入到链表末尾
if (!poly.head) {
poly.head = term;
} else {
Term current = poly.head;
while (current->next) {
current = current->next;
}
current->next = term;
}
}
}
```
（2）多项式加法
两多项式相加时，只需依次比较两者的指数，相同则合并系数，不同则直接连接。
```cpp
Polynomial addPolynomials(const Polynomial& p1, const Polynomial& p2) {
Polynomial result;
Term t1 = p1.head;
Term t2 = p2.head;
while (t1 && t2) {
if (t1->exponent > t2->exponent) {
appendTerm(result, t1->coefficient, t1->exponent);
t1 = t1->next;
} else if (t1->exponent < t2->exponent) {
appendTerm(result, t2->coefficient, t2->exponent);
t2 = t2->next;
} else {
double sum = t1->coefficient + t2->coefficient;
if (sum != 0) {
appendTerm(result, sum, t1->exponent);
}
t1 = t1->next;
t2 = t2->next;
}
}
while (t1) appendTerm(result, t1->coefficient, t1->exponent);
while (t2) appendTerm(result, t2->coefficient, t2->exponent);
return result;
}
```
（3）其他功能
类似地，还可以实现减法、乘法等功能。例如，乘法需要两重循环遍历两个多项式的每一项进行组合。
3. 性能分析
| 操作 | 时间复杂度 | 空间复杂度 |
|------------|------------------|------------------|
| 创建多项式 | O(n) | O(n) |
| 加法 | O(m+n) | O(m+n) |
| 减法 | O(m+n) | O(m+n) |
| 乘法 | O(mn) | O(m+n) |
结论
通过本次实验，我们不仅掌握了链表这种基础数据结构的应用，还学会了如何利用它来解决实际问题。特别是在处理多项式运算时，链表能够很好地适应动态增长的需求。未来可以进一步优化算法以提高执行效率，比如采用稀疏矩阵存储方式减少不必要的零系数存储。
参考文献
[1] Thomas H. Cormen et al., Introduction to Algorithms, Third Edition, MIT Press, 2009.
以上便是关于“数据结构实系数一元多项式运算实验报告”的全部内容，希望对你有所帮助！
